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《怎樣解題》讀后感(精選多篇)

發布時間:2015-01-05 07:26:08 作者:小編 審核編輯:本站小編 點擊:下載該Word文檔收藏本文

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正文

第一篇:《怎樣解題》讀后感

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。因長期從事數學教學,他對數學思維的一般規律有著深入的研究。這本開拓思維的《怎樣解題》就是其研究成果的總結,并因此而暢銷全球。

作者認為一個重大的發現可以解決一道重大的難題,而在解答任何一道題目的過程中,也會有點滴的發現。這句話頗有現實意義,人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質,就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱,就無法抓住問題的關鍵,因此也就無從下筆解答題目了。

作者也認為當你解答的題目并不陌生,有些似曾相識的時候可能會不以為然,但你若因此而感到有興趣,并被好奇所激發時,你的創造力將被激起,并被發揮出來;特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時,你將飽含成就感。

作者建議我們不要只做一些簡單的基礎題,它只會扼殺我們對數學的熱情;也別一味地做變態級的難題,那樣會打擊我們的自信心。

雖然在我看來,此書的實踐性不及一般的教輔書,但其對數學領域中怎樣進行正確、快速、有效地解題,有著一針見血的指導作用。作者在書中運用了大量活潑、生動、通俗的散文寫法,闡述了一個又一個數學問題。作者在此書中還提出了一個史無前例的觀點:學好數學不只在于練習、操作、演算,最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。

讀完全書,我最深的感受是我也愛上了數學。數學不僅是通向工程、技術的必由之路,它還充滿著樂趣。

第二篇:怎樣解題讀后感

《怎樣解題》波利亞

————讀后感

著名數學家波利亞認為數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考,他把“解題”作為培養學生數學才能和教會學生思考的一種手段和途徑.他專門研究解題的思維過程,分解解題的思維過程得到一張“怎樣解題”表。

在數學學習中,一定量的解題訓練是必不可少的,但僅依靠“題海戰術”來進行解題訓練是萬萬不可的,“題海戰術”在能力培養方面主要表現為提高模仿力與復制力,而在大學期間的數學學習更注重學生數學素質和能力的考查,因此我們與其窮于應付繁瑣過量的題目,還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去深入發掘題目的各個側面,對與此相關的一系列問題都能有一個系統的認識和把握.波利亞在他的名著《怎樣解題》中很好的闡述了這一思想.《怎樣解題》一書中對數學解題理論的建設主要是通過“《怎樣解題》表”來實現的,包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞在《怎樣解題》中所闡述的,即波利亞“怎樣解題”表。第一步:必須弄清問題。弄清問題即審題,是解題的基礎。因為只有正確理解了題意,才能正確地樹立解題的思維方法,找出解題途徑。在這一步,解題者必須了解問題的文字敘述.然后通過觀察、分析、畫圖等把文字、圖形、符號等發出的信息正確的接收下來。把條件的

各個部分分開,充分挖掘題設的內涵,判清題型,審清問題。第二步:找出已知與未知的聯系,如果找不出直接的聯系.則要考慮輔助問題,最終得出一個求解的計劃。擬訂計劃即探索解題的途徑,這是解題的關鍵環節。當我們審清了問題之后, 熟悉的問題有一定的解題套路,不需要太多的思考;而對于不熟悉的題目,我們千萬不要急于動筆演算,而是要在頭腦中從整體上設計好一個解題思路,稍進一步的問題,需要有一點變化。一個正確的解題思路的形成過程是復雜的。它涉及解題者的知識因素、解題經驗和解題能力。不過,從思維角度看,都是按照由果索因或由因導果而進行的。第三步:實現想法和計劃。解題的核心即實現計劃,就是根據所探索的思路付諸行動。在解題過程中,這一步是相對容易的。如果計劃擬訂完善,實現計劃往往是做一些機械性的計算。但計劃往往是不完善的,所以往往又需要回到上一步,出現一些反復。另外,計算或操作過程中也會存在某些困難,甚至會遇到難以逾越的困難.這時原來的計劃就必須推翻重來,此時所需要的主要就是解題者的耐心。解題方案給出了一個解題的總體框架。我們必須耐心地對每一步進行嚴格推導和計算,確保每一步的細節都是正確的,必須考慮問題的所有條件,簡明規范地把解決問題的全過程完整地表達出來;第四步:驗算所得到的解。這一步相當于平時解題所說的“驗算”,它不只是簡單地核對答案,判斷解題是否正確,進而找出錯誤并予以糾正,而是要用多種方法,從不同的角度去獲得正確的結果,重要的是對解題結果或方法進行遷移思考,總結解題經驗,擴大解題成果。正如波利亞所說:“這是領會方法的最佳時

機”,“當解題者完成了他的任務。而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候,去回顧他所做的一切,可能有利于探索他剛才克服困難的實質。

波利亞的“怎樣解題”表,其特點是:明顯的普遍性與常識性;一連串的發問,給出思路與建議;提出的問題驅動解題者的思維按一定方向搜索、加工、分析、應用信息。改為現行的解題四程序:審題;思素解法;實施解題計劃;檢驗、回顧、引拓。

“題海”是客觀存在,我們應研究對付“題海”的戰術.波利亞的“表”雖不如阿里巴巴的金鑰匙,但卻切實可行,給出了探索解題途徑的可操作機制,只要按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法,在解題的過程中。必將使自己的思維受到良好的訓練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養成了有益的思維習慣。

波利亞的“怎樣解題表”中的四個階段對問題解決具有開創性的意義。但是,與完整的元認知理論相比,也還存在著一些局限性。解題表作為一個解題的程序。忽視了對個體差異性的認識。缺乏對認知個體的認識。比如。解題表中沒有關于學習者本人特點方面的知識,如學習的能力、動機、目的、愛好以及影響學習的其他各種個人特征與狀態.關于記憶、理解等不同水平對不同個體解題活動影響涉及也較少。“怎樣解題表”中的元認知觀念相對于完整的元認知理論還是比較分散的.還不夠系統化,是樸素的元認知,而后提出的元認知結構正是在此基礎上進一步完善形成的理論系統。

第三篇:《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀后感

一直很喜歡讀書,特別是文學方面的書籍,但是這學期所看的書,卻讓我的書史有了大改觀。這學期所涉及要看的書,都是和教育有關的,雖然一直有做家教,之前也參加過支教活動,但是看完教育類的書籍后,卻有點顛覆教育在我心里的印象。

《怎樣解題》這本書初次接觸,感覺很陌生,很難看的進去,相對于《小學數學名師同課異構》案例書來說,更加感到差異很大。

第一次看這本理論書,給我最大的不同是,似乎老師每次給學生講解一道題目,都要從這道題先引申道另外一道題或者先問學生是否曾經做過類似的題目,然后再花費大量的時間去讓學生解決類似的題目或者曾經做過的題目,最后再慢慢引到最開始的問題上,利用前面的題目的方法或定理再來解決最初的問題。回想起以前上學的情景,每當遇到問題的時候,問老師如何解題,老師都會先把題目理順一遍,然后再告訴我們思路,最后再一邊提問我們相關的定理或者概念,一邊把題目講解完,在這之后,如果題目比較典型,就在錯題本或者在筆記本上把這道題記錄下來,以后再次遇到類似的題目,則自己再回想之前的題目,想想是否能用相同的方法解題,或者直接翻開筆記本,再自己慢慢順著思路把問題解決,大概遇到兩次或者兩次以上的類似題目后,都能夠自己把問題解決,不需要翻開筆記或者問同學或老師。兩者不一樣的幫助學生的解題方法,感覺上都各有各的好處,但是不知道為什么感覺波利亞的教師幫助學生解題的方法感覺有點不太實際。

如果說老師要幫助每個學生解決他們不一樣的難題,都需要用到先想類似的題目或者先回憶曾經做過類似的題目,再來慢慢引導學生把題目解決,這需要花費大量的時間,而每個老師的空閑時間有限,學生的問問題時間也有限,但是學生的難題卻無限,這樣下來,老師根本不能解決每個學生的問題,不能夠完全幫助自己的學生,感覺有點不實際。但是如果老師把這種方法用在課堂上講解典型的難題的時候,我覺得這卻是比較好的一種方法,一方面可以鞏固學生在之前所學的知識,另一方面,也可以擴展學生的題海,讓學生能夠更加牢固的學會解題的方法和做類似題目的思路,同時,也可以讓成績比較差的學生能夠掌握該題的做題技巧。

當然,除了在感覺解題方式有點不太一樣之外,在這本比較難懂的理論書之中,還是學會了一些解題的相關技巧和步驟。第一步:必須弄清問題,弄清問題即審題,是解題的基礎;第二步:找出已知與未知的聯系,如果找不出直接的聯系.則要考慮輔助問題,最終得出一個求解的計劃;第三步:實現想法和計劃。解題的核心即實現計劃,就是根據所探索的思路付諸行動;第四步:驗算所得到的解。前三步在解題或者教學的過程中,一直都按照這個步驟進行,但是到了第四步驟時,基本上都會忘記或者根本沒有想過要檢驗,除非是在考試的時候或者在有答案的情況下才會驗算自己的答案。如果在教學的時候執行第四步,對學生提出:你能檢驗這個結果嗎?你能檢驗這個結論嗎?你能以不同的方式推導這個結果嗎?你能一眼就看出它來嗎?你能在別的什么題目中利用這個結果或者這種方法嗎等,則能夠讓學生再次及時回顧剛才所學的知識和技巧,同時,也能讓學生養成以這種方式回顧和仔細檢查的習慣,會的一些條理分明、隨時可以使用的知識,并且將提高學生的解題能力。

當然,想要做到能利用波利亞的解題方法,也并不是按照這個方法就能做到百分百成功,還需要積累一定的題目在自己的腦海里,以便自己隨時能調用,但并不是題海戰術就能解決這一切,而是需要每當自己做題的時候,能夠同時充分利用波利亞的解題步驟,這樣才能更加增大自己題量。不過,在利用波利亞的解題的步驟時,同時也需要注意到它的局限性,就是不能根據個人的特點來解題,沒有做到因材施教,忽視了對個體差異性的認識,缺乏對認知個體的認識。而且在波利亞的解題步驟中,每個人是用都一樣的方式來解題,忽略了學生在解題方面的興趣、目的等,所以我們在解題的時候,也不能生搬硬套,需要靈活應用,這

樣才能根據自身條件地完整地解決了一道題。

當然,這只是我第一次看這本書所得的初步感想,或許再次閱讀這本書的時候,會有更深刻的理解。

第四篇:波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學習難,學習數學更難”,許多人對數學望而生畏,大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經歷:一道題,自己總也想不出解法,而別人卻輕而易舉地給出了一個絕妙的解法,這時你最希望知道的是“你是怎么想出這個解法的?為什么我沒有想到呢?”有這么一個人,為了改變數學在公眾心目中的形象,致力于解題的研究,為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題,很早就開始探索數學中的發明創造,他利用在大學任教的機會,通過與學生的交流和對學生的細致觀察,認真研究了人們解題的過程,通過和一批數學大家的交流,花了整整三十年的時間,終于完成一篇著作,這本書指導了人們不僅僅是在數學中,乃至在任何其他領域中怎樣進行正確思維,引導了一代又一代讀者在學習中走上正確的道路。這個人就是著名數學家喬治?波利亞,這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數學家和數學教育家。上中學時,他就是一個很有上進心的學生,但每當遇較難的數學題時,他也時常感到困惑:“這個解答好像還行,他看起來是正確的,但怎樣才能想到這樣的解答呢?這個結論好像還行,他看起來是個事實,但別人是怎樣發現這個事實的?我自己怎樣才能想出或發現他們呢?”為了解決這個困惑,波利亞經過多年教學經驗的累計以及與一批數學大家的交流,最終著出《怎樣解題》這本書,一經出版,暢銷全球。 在這本書中,波利亞表達了這樣的觀點:解題的價值不是答案的本身,而在于弄清“是怎樣想到這個解法的?”、“是什么促使你這樣想,這樣做的?”這就是說,解題過程還是一個思維過程,是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認為“對你自己提出問題是解決問題的開始”,“當你有目的地向自己提出問題時,它就變成你自己的問題了”,“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華,這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到,表中所述看似很平常的解題步驟或方法,其實已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。“怎樣解題”表將解題過程分成了四個步驟,包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧反思”,在這其中,對第二步

即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題,它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解,使我們對解題的思維過程看得見,摸得著,易于操作。波利亞推崇探索法,他認為現代探索法力求了解解題過程,特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試,“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么?怎樣聯想?讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理???”波利亞說他在寫這些東西時,腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程,實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學,特別是研究解題方法時的優勢所在,絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想,我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。我們在解題時,為了找到解法,實際上也思考過表中的某些問題,只不過不自覺,沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時,我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路,用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法,爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法,在解題的過程中,必將使自己的思維受到良好的訓練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養成了有益的思維習慣。如果能在平時的解題中不斷實踐和體會該表,必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆:“學數學是一種樂趣!”

在書中波利亞這樣說:“一個重大的發現可以解決一道重大的難題,而在解答任何一道題目的過程中,也會有點滴的發現。”這句話頗有現實意義,人如果缺乏善于發現的眼睛和發現題目的本質,就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱,就無法抓住問題的關鍵,因此也就無從下筆解答題目了。他還認為當你解答的題目并不陌生,有些似曾相識的時候可能會不以為然,但你若因此而感到有興趣,并被好奇所激發時,你的創造力將被激起,并被發揮出來;特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時,你將飽含成就感,

從而更加激發你學習的熱情和對問題探索的渴望。也就是說,學好數學不只在于練習、操作、演算,最重要的是從心底萌發出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。 書中還講到了教師對于學生的解題應該進行怎樣的指導,書的第一章節,為“在教室中”,分為“目的”“主要問題,主要部分”在“目的”這一節中,波利亞系統地指導了教師如何讓幫助學生,他說:“教師最重要的任務就是幫助學生。學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多,那么學生卻又無事可干,教師對學生的幫助應當不多不少,恰使學生有一個合理的工作量。如果學生不太能夠獨立工作,那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作。為了做到這一點,教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過,對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地,應當了解學生情況,應當弄清學生正在想什么,并且提出一個學生自己可能會產生的問題,或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。”而在指導學生的過程中,教師不免一而再,再而三地提出一些相同的問題,指出一些相同的步驟。例如,在大量的問題中,我們總是問:未知數是什么?我們可以變換提問的方法,以各種不同的方式提問同一個問題:求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?這類問題的目的是把學生的注意力集中到未知數上。有時,我們用一條建議:看著未知數,來更為自然地達到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的:即企圖引起同樣的思維活動。在波利亞看來,在與學生討論的問題中,收集一些典型的有用問題和建議,并加以分類是有價值的。“怎樣解題”表就包含了這類經過仔細挑選與安排的問題和建議;它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應采取的行動之后,他們會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性,當然,除去普遍性以外,它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時候,我們能聯想到與之相關卻為我們所熟悉的內容,那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出,教師和學生在實踐中,教師試圖提高學生解題能力,必須培養學生的興趣,然后給他們提供大量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發展相應于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動,那么他就應該盡可能地經常而自然地向學生提出這些問題和建議。此外,當教師在全班面前解題時,他應當使其思路更吸引人一些,并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導,學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法,并且這樣做以后,他將學到比任何具體數學知識更為重要的東西。將此聯系到實際中的數學學習問題,在如今應試教育的大環境下,現在教師的教學過程、學生的思維都比較的定式化,特別像是數學物理等理科,教師運用題海戰術,學生只要多做多練,甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學生很難出于自己的興趣去解題,解題更多地被當做一種機械的條件反射的運動而不是思維活動。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。 作為一名數學師范專業的學生,我想我從這本書中學到了太多,不僅僅解決了自身的學習問題,激發了自己對于解題的興趣、學會了如何運用“怎樣解題”表中的步驟解決問題,更學會了,作為一名教師應該如何指導學生解決問題,如何教育學生,讀完這本書,(推薦打開范文網www.clclzg.live)我獲益匪淺。

第五篇:怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國數學家和數學教育家波利亞所寫得一部經久不衰的暢銷書,雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律,但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題,采用明晰動人的散文筆法,闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭,他們在本書的指導下,學會了怎樣摒棄不相干的東西,直搗問題的心臟。

目錄

內容簡介

作者簡介

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怎樣解題表

編輯本段內容簡介這本經久不衰的暢銷書出自一位著名數學家的手筆,雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律,但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題,采用明晰動人的散文筆法,闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭,他們在本書的指導下,學會了怎樣摒棄不相干的東西,直搗問題的心臟。

編輯本段作者簡介波利亞 ( 男) (george polya,1887—1985),著名美國數學家和數學教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授,1928年后任數學系主任。1940年移居美國,歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數定理是組合數學的重要工具。長期從事數學教學,對數學思維的一般規律有深入的研究,在這方面的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等,它們被譯成多種文字,廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的

1.幫助學生

2.問題,建議,思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學生,模仿和實踐

主要部分,主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華,該表被波利亞排在該書

的正文之前,并且在書中再三提到該表。實際上,該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟,只要解題時按這四個步驟去做,必能成功。同學們如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表,必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆:“學數學是一種樂趣!”

第一,你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什么?

已知數據(指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱)是什么?

條件是什么?

滿足條件是否可能?

要確定未知數,條件是否充分?

或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

畫張圖。

引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來?

第二,找出已知數與求知數之間的聯系。

如果找不出直接的聯系,你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?

你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?

看著未知數!試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這里有一個與你現在的問題有關,且早已解決的問題,你能應用它嗎?

你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?為了能利用它,你是否應該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它?

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分,這樣對于未知能確定到什么程度?它會怎樣變化?你能不能從已知數據導出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數的其它數據?如果需要的話,你能不能改變未知數和數據,或者二者都改變,以使新未知數和新數據彼此更接近?

你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條件?你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?

第三,實行你的計劃。

實現計劃

實現你的求解計劃,檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的?你能否證明這一步是正確的?

第四,驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出這個結果?你能否一下子看出它來?你能不能把這結果或方法用于其它的問題?

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的,看似很平常的解題步驟或方法,其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中,對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發性的問題,它們就好比是尋找和發現解法的思維過程進行分解,使我們對解題的思維過程看得見,摸得著,易于操作。波利亞推崇探索法,他認為現代探索法力求了解解題過程,特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試,“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么?怎樣聯想?讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理???”波利亞說他在寫這些東西時,腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程,實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學,特別是研究解題方法時的優勢所在,絕非“紙上談兵”。回過頭來想一想,我們會發現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。

我們在解題時,為了找到解法,實際上也思考過表中的某些問題,只不過不自覺,沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時,我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節。因此我們需要控制自己的思路,用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法,爭取達到靈活運用和創造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法,在解題的過程中,必將使自己的思維受到良好的訓練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養成了有益的思維習慣。

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

生活中,碰到一個的問題的時候,我們如何解決?首先我們明確要解決的問題,然后搜集相關情報或者已有的資源,考慮問題關鍵因素之間的內在規律,接著嘗試一些可行的方案,最后選擇其中最優的辦法實踐,最后問題得以解決。對于數學解題來說:首先我們明確未知量,然后明確已知量,確定條件,接著嘗試一些可行的方案,最終得到可以獲得未知量的方案,解出題目。

然而這里有一個模糊的地方,解決問題最關鍵的一步——想出可行的方案,是如何辦到的?當我們對未知、已知、條件都已經了如指掌之后還是想不出任何的方案,這個時候解題面臨本質的智力困難的時候,是如何從無到有思考出可能的方案供我們嘗試的?

這個問題更有畫面感的描述是:數學課,老師出了一道幾何題,先讓大家試解,無人能解。然后老師開始講題,前面的步驟1、2、3大家都會也都想到了,這時老師添加了一條輔助線,

引出步驟4,問題得解,大家豁然開朗。然而,解題的關鍵步驟3到4是如何思考到的呢,老師為何就想到做這一條輔助線呢?

《怎樣解題》就是在回答以上問題。

書中有一個例子可以形象的問答這個問題:

一個原始人站在一條小溪前,他想要越過這條小溪,但溪水經過昨天一夜,已經漲了上來;因此他面臨一個問題:如何越過這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對象,是原始題目中的x。這個人可能會回憶起,他以前曾經踏著一顆倒下的樹度過了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹,就構成了他新的未知量y。他找不到合適的樹,但是沿著溪流有大量的樹木在岸上,他希望其中有一個樹會倒下來。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上?這樣又產生了一個新的未知量z。這一連串的念頭就是分析。如果這個人成功的完成了分析,他可能就成了橋和斧子的發明者。

而這個分析問題的過程,正包含了普遍的解決問題中本質智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過同樣或者類似的問題,即使沒有,我們可以嘗試想更簡單的相關問題,可以是更普遍化的問題、更特殊化的問題,甚至只是問題中的一小部分問題。或者干脆來變化我們遇到的問題的已知情況,觀察未知情況如何跟隨變化;或者變化未知量;或者同時變化已知未知量,來觀察問題如何變化。正是這樣一個分解和重構問題的過程,使得我們逐漸逾越了問題的核心部分,得出了疑似可行的方案。然后我們驗證疑似可行的方案,如果其中確有可行的,問題得解。如果沒有,我們將重復以上的過程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當然原著對分解和重構問題的過程做了更為細致、嚴謹的分析和探討,并配以精妙的數學題示例來演示各種細節。作為一本數學方法著作,更難能可貴的是,波利亞頗為人性化的闡釋了解題過程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中,“決心、希望、成功”“潛意識活動”“進展”三個詞條都嚴謹、科學的闡述了情感是如何作用于我們解題過程的。

“決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產生波動。如果我們認為答案即將來臨,就很容易繼續干下去,當我們看不到有什么克服困難的出路時,要堅持不懈就會很難。”“有超常天賦的人主要的優勢也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力,他能感覺到進展的細微標志,或者注意到這些標志的缺乏。”這些非智力因素對于我們解決生活和工作中的問題尤其重要,我們需要敏感的覺察來自情感腦的反饋,并加以利用,來幫助解決問題。舉例來說,生活中碰到一個很復雜問題,在長期解決問題的過程中,有一段時間可能解決問題時沒有明顯的反饋給我們標志,最后我們沮喪的放棄了解決問題。然而很有可能的是,這個過程真是解決問題的關鍵期,實際上也是有標志出現的,只是當時的我們還不理解這些標志。由此可見非智力因素之于解決問題的重要性,我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后,波利亞還舉出一個心理學試驗:用一個缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動物(狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒),在圍欄的另一側放上一個被試很想要的物體(對動物來說是食物,對人類嬰兒來說是有趣的玩具),然后觀察他們各自的行為。發現,狗在扒著圍欄吠了幾聲發現無法通過的時候,不久便學會了從圍欄的缺口的那一邊繞出去,人類嬰兒很快就學會了繞過障礙,而黑猩猩也學得很快(黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬)。

“母雞的行為就像那些面臨問題的時候渾渾噩噩的人,試了一次又一次,最后靠一些運氣碰巧成功,而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應責怪母雞的笨拙。要轉過身從目標跑開,不一直盯著目標前進,不沿著直接的道路到達目標,確實有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性。”最后一句話貌似有些哲理,是全書嚴謹行文之中唯一有些文藝的一句。`

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